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量子力学二基础概念和公式

时间:2021-6-14    作者:JourinTown    分类: 2021春


  • 微分散射截面 具有面积的量纲,表示每个入射粒子被散射到$(\theta,\varphi)$方向的单位立体角内的几率
    • $\sigma(\theta,\varphi)=|f(\theta,\varphi)|^2$
  • 总散射截面 把微分散射截面对所有方向积分(单位一般是barn=$10^{-24}$cm)
    • $\sigma=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{\pi} \sin \theta \mathrm{d} \theta|{f(\theta, \varphi)}|^{2}=\frac{4 \pi}{k^{2}} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) \sin ^{2} \delta_{l}$
  • 对于渐进波函数$\psi_A(\vec{r})=e^{ikz}+f(\theta,\varphi)\frac{e^{ikr}}{r}$,其中第一项为入射的单色平面波$e^{ikz}=e^{ikr\cos\theta}$,第二项为出射单色球面波$\frac{e^{ikr}}{r}$
  • 总散射波函数的等价写法:$\psi(\vec{r})=\psi(r, \theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\limits R_{l}(r) P_{l}(\cos \theta)$,在中心势散射中,对应不同轨道角动量量子数l 的部分分波波函数各自彼此独立地散射
  • 径向波函数方程 $\frac{1}{r^2}(\frac{d}{dr}r^2)\frac{d}{dr}R_l+[k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}-U]R_l=0$,其中$k^2=\frac{2\mu}{\hbar^2}E,U=\frac{2\mu}{\hbar^2}V(r)$
  • n阶球贝塞尔函数的$r\to\infty$渐进解 $R_l\to \frac{1}{r}sin(r-\frac{n\pi}{2})$
  • 散射振幅
    • ${f(\theta)}=\frac{1}{k} \sum\limits_{l=0}^{\infty}(2 l+1) e^{i \delta_{l}} \sin \delta_{l} P_{l}(\cos \theta)$
    • 玻恩近似后中心势散射 ${f(\theta)}=-\frac{2 \mu}{\hbar^{2} q} \int_{0}^{\infty} V(r) \sin (q r) r d r$ 其中 $q=2 k \sin \frac{\theta}{2}$
  • 分波相移
    • $\sin \delta_{l}=-\int_{0}^{\infty} \frac{V(\rho / k)}{E} f_{l}(\rho) u_{l}(\rho) d \rho$
      • 意义 $\left\{\begin{array}{l}\text { 吸引势 }, V(r)<0 \Leftrightarrow \delta_{l}>0 \\ \text { 排斥势, } V(r)>0 \Leftrightarrow \delta_{l}<0\end{array}\right.$
      • 物理意义 入射单色平面波第l分波的位相与总的散射波函数第l分波的位相之差
    • 玻恩近似后中心势散射 $\sin\delta_l=-\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} k \int_{0}^{\infty} V(r) j_{l}^{2}(k r) r^{2} d r$,$j_{0}(\rho)=\frac{\sin \rho}{\rho}$
  • 光学定理 在散射区域后方的粒子流强度比入射流强小;前后两个流强的差值正比于总散射截面$\sigma$,其是普遍成立的 $\sigma=\frac{4 \pi}{k} \operatorname{Im} {f(0)}$
  • 分波法的适用条件: 短程势、低能散射$ka\ll 1$,就只需要计算s 波散射。
  • 散射长度 $a \equiv-\lim\limits_{k \rightarrow 0} \frac{\tan \delta_{0}(k)}{k}$
    • $E\to 0$时短程势的总散射截面一定有限,故存在一个长度参量$a$满足$\lim\limits_{k \rightarrow 0} \sigma_{0}=4 \pi a^{2}$
  • 有效力程 $\left.r_{\mathrm{eff}} \equiv 2 \int_{0}^{\infty}\left(v_{0}^{2}-u_{0}^{2}\right)\right|_{k \rightarrow 0} \mathrm{~d} r$
    • 低能散射反映s波散射相移$\sigma_0$与入射能量$E$的关系
    • 成立条件 在$r\to\infty$时势$V(r)$足够快地趋于零,短程势散射时适用。若$V(r) \propto r^{-m}$,则$m>5$。
  • 冉绍尔-汤森效应
    • 若入射能量很低,大于零的l分波不重要,仅s波散射。如果同时吸引势很强,有可能$\delta_0=\pi$,这时s波散射振幅为零,总散射截面为零,即入射波完全透射。
  • 共振散射的Breit-Wigner公式 $\sigma_{l}=\frac{4 \pi}{k^{2}}(2 l+1) \frac{(\Gamma / 2)^{2}}{\left(E-E_{0}\right)^{2}+(\Gamma / 2)^{2}}$(第l分波对截面的贡献
    • 分波对截面页献达到极大值,此时散射截面将出现共振峰。
  • 光学虚部的作用 在散射过程中同时存在弹性散射和非弹性散射时,需要有复数的散射势。在原子核散射理论中,以复数势(光学势)描述入射粒子与靶核相互作用的模型称为光学模型。
  • 一阶玻恩近似的推导

    我们有定态薛定谔方程
    $$\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \psi(\vec{r})=\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} V(\vec{r}) \psi(\vec{r})\tag{1}$$
    其中波函数满足无穷远边界条件
    $$\psi_{A}(\vec{r}) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow}=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}+{f(\theta, \varphi)} \frac{e^{i k r}}{r} \tag{2}$$
    我们定义在这种情况下的格林函数$G(\vec{r}-\vec{r}')$为$\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)=\delta\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)$
    从而有$\psi_{s c}(\vec{r})=\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right)$
    已知(1)的通解为$\psi(\vec{r})=\psi_{0}(\vec{r})+\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right)$
    其中$\psi_0(\vec{r})$为齐次方程$(\nabla^2+k^2)\psi(\vec{r})=0$的通解
    利用(2)中给出的无穷边界条件,(1)的物理解为
    $$\psi(\vec{r})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}+\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right)\tag{3}$$
    从而我们可以得到包含无限远边界条件的散射波函数
    $$\psi_{s c}(\vec{r})=\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow} {f(\theta, \varphi)} \frac{e^{i k r}}{r} \tag{4}$$
    利用我们定义的格林函数形式,对两边做傅里叶变换有
    $$\left\{\begin{aligned} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) &=\int d \vec{q} e^{i \vec{q} \cdot\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)} \tilde{G}(\vec{q}) \\ \delta\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) &=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int d \vec{q} e^{i \vec{q} \cdot\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)} \end{aligned}\right.\tag{5}$$
    从而$\tilde{G}(\vec{q})=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{-q^{2}+k^{2}}$
    $$\tilde{G}(\vec{q})=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{-q^{2}+k^{2}} \tag{6}$$
    带入$\delta$的傅里叶变换式,有
    $$G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)=-\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int d \vec{q} \frac{1}{q^{2}-k^{2}} e^{\left.i \vec{q} \cdot \cdot \vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)} \tag{7}$$
    从而我们可以得到其积分结果为(PPT7 P24-25)
    $$G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)=-\frac{1}{4 \pi} \frac{e^{i k \mid \vec{r}-\vec{r}^{\prime}\mid} }{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\tag{8}$$
    从而我们有坐标空间的LS方程为
    $$\psi(\vec{r})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} \frac{e^{i k\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right) \tag{9}$$
    玻恩近似
    考虑$r\to\infty$时的渐近行为
    $$\left\{\begin{array}{l}\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|=\sqrt{r^{2}-2 \vec{r} \cdot \vec{r}^{\prime}+\vec{r}^{\prime 2}} \rightarrow r\left(1-\frac{\vec{r} \cdot \vec{r}^{\prime}}{r^{2}}\right)\\ \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \rightarrow \frac{1}{r} \\ e^{i k\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \rightarrow e^{i k r\left(1-\vec{r} \cdot \vec{r}^{\prime} / r^{2}\right)}=e^{i k r} e^{-i \vec{k}_{f} \cdot \vec{r}^{\prime}}\end{array}\right.\tag{10}$$
    其中$\vec{k}_{f}=k(\vec{r} / r)$对应出射动量,从而在近似下有
    $$\begin{array}{c}\psi_{s c}(\vec{r})=-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} \frac{e^{i k \vec{r}-\vec{r} \mid}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right) \\ \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow}-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \frac{e^{i k r}}{r} \int d \vec{r}^{\prime} e^{-i \vec{k}_{f} \cdot \vec{r}^{\prime}} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right)\end{array}\tag{11}$$
    类似的,对LS方程取一阶有
    $$\psi(\vec{r})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} \frac{e^{i k|\vec{r}-\vec{r}|}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}^{\prime}}\tag{12}$$
    在$r\to\infty$情况下有
    $$\psi_{s c}(\vec{r}) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow}-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \frac{e^{i k r}}{r} \int d \vec{r}^{\prime} e^{i\left(\vec{k}-\vec{k}_{f}\right) \cdot \vec{r}^{\prime}} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \equiv {f(\theta, \varphi)} \frac{e^{i k r}}{r}\tag{13}$$
    从而在一阶玻恩近似下(把相互作用势$V$看作为微扰)有$f(\theta,\varphi)$为
    $${f(\theta, \varphi)}=-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} e^{i\left(\vec{k}-\vec{k}_{f}\right) \cdot \vec{r}^{\prime}} V\left(\vec{r}^{\prime}\right)\tag{14}$$
    令$q=k-k_f$,由于是弹性散射,$|k|=|k_f|=k,q=2k\sin(\frac{\theta}{2})$,这样我们就有常见的散射振幅为
    $${f(\theta, \varphi)}=-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r} e^{i \vec{q} \cdot \vec{r}} V(\vec{r})\tag{15}$$
    中心势下 $f(\theta)=-\frac{2 \mu}{\hbar^{2} q} \int_{0}^{\infty} V(r) \sin (q r) r d r$

  • 玻恩近似的适用范围 玻恩级数收敛的条件是叠加的第2部分比第1部分小得多,使散射波函数相比于入射的单色平面波偏离不大。
    • 能量$E$远大于势的强度$|V|$时
    • 仅小动量转移时
  • 应用
    • 汤川势 汤川秀树为解释核力而引入的,预言了$\pi$介子的存在
      • 形式 $V(r)=V_{0} \frac{e^{-\alpha r}}{r},(\alpha>0)$
    • 屏蔽库仑势的散射 描述电荷为$Z_1$的带电粒子与核电荷数为$Z_2$的中性原子的散射。
  • WKB近似
    • WKB近似的适用条件 $\left|\hbar p^{\prime}(x) / 2 p^{2}(x)\right| \ll 1$
      • 势场$V(x)$变化缓慢(在德布罗意波长范围内变化小)
      • 动能值较大,使$|\lambda d V / d x| \text { 比 }|E-V(x)|$小很多
    • 一级WKB 近似波函数 $\psi(x)=\exp \left[\frac{i}{\hbar} s(x)\right]=\frac{C}{\sqrt{p(x)}} \exp \left[\pm \frac{i}{\hbar} \int^{x} p\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}\right]$
    • 玻尔索莫非量子化条件 $\oint p(x)dx=\left\{\begin{array}{cc}(n+\frac{1}{2})2\pi \hbar&\text{一维束缚态}\\(n+\frac{3}{4})2\pi \hbar&\text{一维半无限深}\\(n+1)2\pi \hbar&\text{一维无限深}\end{array}\right.$
    • 透射方程 $\begin{aligned} D &=\left|\psi_{D}\right|^{2} /\left|\psi_{C}\right|^{2}=|C / B|^{2}=\left(e^{\alpha}+e^{-\alpha} / 4\right)^{-2} \approx e^{-2 \alpha} \\ &=\exp \left[-\frac{2}{\hbar} \int_{a}^{b}|p(x)| d x\right]=\exp \left[-\frac{2}{\hbar} \int_{a}^{b} \sqrt{2 \mu[V(x)-E]} d x\right] \end{aligned}$

    Notes from manifold

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文章标题:《量子力学二基础概念和公式
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评论:
Seikecu 2022-08-26 13:45
好好好!
JourinTown 2021-06-17 08:40
$\begin{array}{l}\chi_{00}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[|\uparrow\rangle_{1}|\downarrow\rangle_{2}-|\downarrow\rangle_{1}|\uparrow\rangle_{2}\right] \\ \chi_{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[|\uparrow\rangle_{1}|\downarrow\rangle_{2}+|\downarrow\rangle_{1}|\uparrow\rangle_{2}\right] \\ \chi_{11}=|\uparrow\rangle_{1}|\uparrow\rangle_{2} \\ \chi_{1-1}=|\downarrow\rangle_{1}|\downarrow\rangle_{2}\end{array}$
JourinTown 2021-06-16 18:03
$\sigma_1\sigma_2=2s(s+1)-3$
for spin-$\frac{1}{2}$
s=0 singlet state $\sigma_{0}(\theta)=|{f(\theta)}+{f(\pi-\theta)}|^{2}$ , s=1 triplet state $\sigma_{0}(\theta)=|{f(\theta)}-{f(\pi-\theta)}|^{2}$
$\sigma=\frac{1}{4}\sigma_0+\frac{3}{4}\sigma_1$