量子力学二基础概念和公式

• $\sigma(\theta,\varphi)=|f(\theta,\varphi)|^2$

• $\sigma=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{\pi} \sin \theta \mathrm{d} \theta|{f(\theta, \varphi)}|^{2}=\frac{4 \pi}{k^{2}} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) \sin ^{2} \delta_{l}$

• ${f(\theta)}=\frac{1}{k} \sum\limits_{l=0}^{\infty}(2 l+1) e^{i \delta_{l}} \sin \delta_{l} P_{l}(\cos \theta)$
• 玻恩近似后中心势散射 ${f(\theta)}=-\frac{2 \mu}{\hbar^{2} q} \int_{0}^{\infty} V(r) \sin (q r) r d r$ 其中 $q=2 k \sin \frac{\theta}{2}$

• $\sin \delta_{l}=-\int_{0}^{\infty} \frac{V(\rho / k)}{E} f_{l}(\rho) u_{l}(\rho) d \rho$
  • 意义 $\left\{\begin{array}{l}\text { 吸引势 }, V(r)<0 \Leftrightarrow \delta_{l}>0 \\ \text { 排斥势, } V(r)>0 \Leftrightarrow \delta_{l}<0\end{array}\right.$
  • 物理意义 入射单色平面波第l分波的位相与总的散射波函数第l分波的位相之差
• 玻恩近似后中心势散射 $\sin\delta_l=-\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} k \int_{0}^{\infty} V(r) j_{l}^{2}(k r) r^{2} d r$,$j_{0}(\rho)=\frac{\sin \rho}{\rho}$

• $E\to 0$时短程势的总散射截面一定有限，故存在一个长度参量$a$满足$\lim\limits_{k \rightarrow 0} \sigma_{0}=4 \pi a^{2}$

• 低能散射反映s波散射相移$\sigma_0$与入射能量$E$的关系
• 成立条件 在$r\to\infty$时势$V(r)$足够快地趋于零，短程势散射时适用。若$V(r) \propto r^{-m}$，则$m>5$。

• 若入射能量很低，大于零的l分波不重要，仅s波散射。如果同时吸引势很强，有可能$\delta_0=\pi$，这时s波散射振幅为零，总散射截面为零，即入射波完全透射。

• 分波对截面页献达到极大值，此时散射截面将出现共振峰。

我们有定态薛定谔方程
$$\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \psi(\vec{r})=\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} V(\vec{r}) \psi(\vec{r})\tag{1}$$
其中波函数满足无穷远边界条件
$$\psi_{A}(\vec{r}) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow}=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}+{f(\theta, \varphi)} \frac{e^{i k r}}{r} \tag{2}$$
我们定义在这种情况下的格林函数$G(\vec{r}-\vec{r}')$为$\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)=\delta\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)$
从而有$\psi_{s c}(\vec{r})=\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right)$
已知(1)的通解为$\psi(\vec{r})=\psi_{0}(\vec{r})+\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right)$
其中$\psi_0(\vec{r})$为齐次方程$(\nabla^2+k^2)\psi(\vec{r})=0$的通解
利用(2)中给出的无穷边界条件，(1)的物理解为
$$\psi(\vec{r})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}+\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right)\tag{3}$$
从而我们可以得到包含无限远边界条件的散射波函数
$$\psi_{s c}(\vec{r})=\frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow} {f(\theta, \varphi)} \frac{e^{i k r}}{r} \tag{4}$$
利用我们定义的格林函数形式，对两边做傅里叶变换有
$$\left\{\begin{aligned} G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) &=\int d \vec{q} e^{i \vec{q} \cdot\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)} \tilde{G}(\vec{q}) \\ \delta\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right) &=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int d \vec{q} e^{i \vec{q} \cdot\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)} \end{aligned}\right.\tag{5}$$
从而$\tilde{G}(\vec{q})=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{-q^{2}+k^{2}}$
$$\tilde{G}(\vec{q})=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{-q^{2}+k^{2}} \tag{6}$$
带入$\delta$的傅里叶变换式，有
$$G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)=-\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int d \vec{q} \frac{1}{q^{2}-k^{2}} e^{\left.i \vec{q} \cdot \cdot \vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)} \tag{7}$$
从而我们可以得到其积分结果为(PPT7 P24-25)
$$G\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)=-\frac{1}{4 \pi} \frac{e^{i k \mid \vec{r}-\vec{r}^{\prime}\mid} }{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\tag{8}$$
从而我们有坐标空间的LS方程为
$$\psi(\vec{r})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} \frac{e^{i k\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right) \tag{9}$$
玻恩近似
考虑$r\to\infty$时的渐近行为
$$\left\{\begin{array}{l}\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|=\sqrt{r^{2}-2 \vec{r} \cdot \vec{r}^{\prime}+\vec{r}^{\prime 2}} \rightarrow r\left(1-\frac{\vec{r} \cdot \vec{r}^{\prime}}{r^{2}}\right)\\ \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \rightarrow \frac{1}{r} \\ e^{i k\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \rightarrow e^{i k r\left(1-\vec{r} \cdot \vec{r}^{\prime} / r^{2}\right)}=e^{i k r} e^{-i \vec{k}_{f} \cdot \vec{r}^{\prime}}\end{array}\right.\tag{10}$$
其中$\vec{k}_{f}=k(\vec{r} / r)$对应出射动量，从而在近似下有
$$\begin{array}{c}\psi_{s c}(\vec{r})=-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} \frac{e^{i k \vec{r}-\vec{r} \mid}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right) \\ \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow}-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \frac{e^{i k r}}{r} \int d \vec{r}^{\prime} e^{-i \vec{k}_{f} \cdot \vec{r}^{\prime}} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right)\end{array}\tag{11}$$
类似的，对LS方程取一阶有
$$\psi(\vec{r})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} \frac{e^{i k|\vec{r}-\vec{r}|}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}^{\prime}}\tag{12}$$
在$r\to\infty$情况下有
$$\psi_{s c}(\vec{r}) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow}-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \frac{e^{i k r}}{r} \int d \vec{r}^{\prime} e^{i\left(\vec{k}-\vec{k}_{f}\right) \cdot \vec{r}^{\prime}} V\left(\vec{r}^{\prime}\right) \equiv {f(\theta, \varphi)} \frac{e^{i k r}}{r}\tag{13}$$
从而在一阶玻恩近似下（把相互作用势$V$看作为微扰）有$f(\theta,\varphi)$为
$${f(\theta, \varphi)}=-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r}^{\prime} e^{i\left(\vec{k}-\vec{k}_{f}\right) \cdot \vec{r}^{\prime}} V\left(\vec{r}^{\prime}\right)\tag{14}$$
令$q=k-k_f$，由于是弹性散射，$|k|=|k_f|=k,q=2k\sin(\frac{\theta}{2})$，这样我们就有常见的散射振幅为
$${f(\theta, \varphi)}=-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^{2}} \int d \vec{r} e^{i \vec{q} \cdot \vec{r}} V(\vec{r})\tag{15}$$
中心势下 $f(\theta)=-\frac{2 \mu}{\hbar^{2} q} \int_{0}^{\infty} V(r) \sin (q r) r d r$

• 能量$E$远大于势的强度$|V|$时
• 仅小动量转移时

• 汤川势 汤川秀树为解释核力而引入的，预言了$\pi$介子的存在
  • 形式 $V(r)=V_{0} \frac{e^{-\alpha r}}{r},(\alpha>0)$
• 屏蔽库仑势的散射 描述电荷为$Z_1$的带电粒子与核电荷数为$Z_2$的中性原子的散射。

• WKB近似的适用条件 $\left|\hbar p^{\prime}(x) / 2 p^{2}(x)\right| \ll 1$
  • 势场$V(x)$变化缓慢(在德布罗意波长范围内变化小)
  • 动能值较大，使$|\lambda d V / d x| \text { 比 }|E-V(x)|$小很多
• 一级WKB 近似波函数 $\psi(x)=\exp \left[\frac{i}{\hbar} s(x)\right]=\frac{C}{\sqrt{p(x)}} \exp \left[\pm \frac{i}{\hbar} \int^{x} p\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}\right]$
• 玻尔索莫非量子化条件 $\oint p(x)dx=\left\{\begin{array}{cc}(n+\frac{1}{2})2\pi \hbar&\text{一维束缚态}\\(n+\frac{3}{4})2\pi \hbar&\text{一维半无限深}\\(n+1)2\pi \hbar&\text{一维无限深}\end{array}\right.$
• 透射方程 $\begin{aligned} D &=\left|\psi_{D}\right|^{2} /\left|\psi_{C}\right|^{2}=|C / B|^{2}=\left(e^{\alpha}+e^{-\alpha} / 4\right)^{-2} \approx e^{-2 \alpha} \\ &=\exp \left[-\frac{2}{\hbar} \int_{a}^{b}|p(x)| d x\right]=\exp \left[-\frac{2}{\hbar} \int_{a}^{b} \sqrt{2 \mu[V(x)-E]} d x\right] \end{aligned}$

Notes from manifold